[R] 심화선형대수2 - 양정형에 대한 정리, 촐레스키분해

대학원 중간고사가 끝났습니다! 이번에도 정의들과 정리들을 다룰 것인데 코드로 같이 겸해서 소개하겠습니다. 여기까지 선형대수를 다루고 다변량 분포에 대한 내용과 선형모형론에 대한 얘기를 본격적으로 해보겠습니다. 필요선수지식은 다음과 같은 선형대수지식 중 선형변환과 고유값에 대한  지식을 가지고 있으시면 됩니다. 특이값분해와 의사역행렬은 다루지 않았지만 등장할 때 같이 정의와 정리들을 같이 다루겠습니다.

https://pastryofjsmath.tistory.com/96

선형대수학 포스팅 모음

 

이에 대한 자세한 얘기는 이미 다른 포스팅에서 해두었다. 

https://pastryofjsmath.tistory.com/18

이차형식,Hessian Matrix를 이용한 다변수함수 판정법

 

고유방정식에 대한 해 판단

#graph
f <- function(x) -x^3 +18*x^2 -51*x +2
x <- seq(-5,15,length.out=100)
plot(x,f(x),type='l',lwd=2,col='blue', main = "f(x) : -x^3 +18*x^2 -51*x +2")
abline(h=0)
A <- matrix(c(12,1,-5,
              1,3,-2,
              -5,-2,3),byrow=T,ncol=3)
points(eigen(A)$values[1],0,col='red',pch=16)
points(eigen(A)$values[2],0,col='red',pch=16)
points(eigen(A)$values[3],0,col='red',pch=16)

 

z=0으로 고정시켰을 때 3차원그래프

컨벡스한 모형에서는 안으로 갈수록 수치가 작아짐을 알 수 있다. 그 반대로 커지면 컨케이브한 모형이다.

f_xy <- function(x,y,z) 12*x^2 +2*x*y -10*x*z +3*y^2 -4*y*z +3*z^2
library(mosaic)

#3d graph
plotFun(f_xy(x,y,0)~x&y,surface = T,alpha=0.8,
        xlim=c(-10,10),ylim=c(-10,10))
#contour
plotFun(f_xy(x,y,0)~x&y,surface = F,alpha=0.8,
        xlim=c(-10,10),ylim=c(-10,10))

 A <- matrix(c(4,2,
               2,1),byrow=T,ncol=2)
 chol.default(A)
#chol.default(A)에서 다음과 같은 에러가 발생했습니다:the leading minor of order 2 is not positive

위 문제를 컴퓨팅으로는 풀 수 없다. 끝값이 0이여도 아웃풋이 안나오는 것을 알 수 있다.

A <- matrix(c(1,1,0,
              1,1,0,
              0,0,0),byrow=T,ncol=3)
chol.default(A)
#chol.default(A)에서 다음과 같은 에러가 발생했습니다:the leading minor of order 2 is not positive

 

다음 정리는 Thm9의 역에 대한 내용인데 수식전개가 좀 많이 나온다. 하지만 손으로 직접 전개한다면 금방 할 수 있다. 그리고 이에 대한 내용을 가지고 다변량정규분포의 벡터형태,이차형식의 mgf를 보이는 곳에서도 쓸것이니 전개가 어떻게 되는 것인지 흐름을 파악하는게 좋다.