비중심 카이제곱분포에 대한 적률생성함수, 특성, 계층모델 당위성

비중심 카이제곱분포에 대해 설명하기에 앞서  중심화된 카이제곱분포에 대한 내용을 우선 짚고 넘어가도록 하겠다.

 

들어가기에 앞서 센터링이 안되어있다는 것을 알기에 분명히 스퀘어폼을 전개하는 과정에서 복잡할 수 있음을 알 수 있다. 하지만 복잡해도 우리는 대게 mgf에서 적분값이 어느 분포의 전체합으로 사라짐을 이용했기에

확률변수 "Z"를 기반으로 전개해나가야함을 최우선 순위로 인지하고 exp안에 깔끔한 제곱텀이면 Normal로 비례한다는 것을 인지하면 된다. 

 

exp()가 곱해졌음을 알 수 있다. 위의 mgf가 non-central chi-square이다.

왜 찢냐고 묻는다면, 찢지 않으면 우리가 아는 계층모델이 나타나지 않는다.. t가 살아서 식에서 사라지지 않기에 찢어서 t가 없는 형태로 적으려고 하는 것이다. 궁금하면 찢지말고 저 식 자체로 매클로린 급수로 나타내서 전개하면 나중에 막히는 것을 알 수 있다.