테일러전개와 적용(라이프니츠적분정리)

https://pastryofjsmath.tistory.com/52

적분과 미분 순서를 바꿔도 되는 근거(라이프니츠 적분 정리)

아마 이 테일러전개를 이용해 라이프니츠적분정리를 증명하는게 더 쉬울 것 같아서 가져왔습니다. ㅎㅎ.. 

위의 증명은 적분의 평균값정리와 균등수렴이란 해석학 내용이 들어가지만, 다음 증명내용은 미적분학 내용으로 처리 가능하다고 봅니다.

테일러 전개

혹시 보시는 분들 중에 (x-a)가 왜 붙은거야? x,x^2, x^3..라고 하면 안되나? 라고 의구심이 드실 수 있는데요.

https://namu.wiki/w/%ED%85%8C%EC%9D%BC%EB%9F%AC%20%EA%B8%89%EC%88%98

테일러 급수

우선 적분법으로 증명하는 과정에서는 x-a로 두지 않으면, 적분구간에 넣을 때 0이 안되어 많이 인생이 힘들어집니다.

이것은 적분에 대한 관점이고, 제가 또 본 관점은 x-a를 어떠한 매우 작은 수로 보는 것입니다.

1차근사는 접선의 함숫값이다

그렇게 된다면 실함수값을 1차근사를 접선의 함수값으로 대체 할 수 있다는 것이죠. 물론 x-a가 매우 작은 값일 때입니다.

 

여담으로 어디까지 근사할지는 보통 1차근사만 쓰지만.. 쓰는사람 마음이라고 생각합니다. 아래의 예시를 보시죠.

 

다음은 다변수 함수의 테일러근사로 라이프니츠 적분정리에 대한 증명을 시작합니다.

저는 1차근사만 이용했습니다. 왜냐하면 단일 편미분은 가속도까지 고려를 하지 않기 때문이죠. 2차이상은 의미없기에 따로 묶어서 버려두었습니다.

테일러 근사로 편미분이 안에 붙어서 나왔기때문에 해석학의 균등수렴에 대한 내용을 알지 못해도 정리의 증명이 가능하다.