도함수를 배우는 이유(feat.미분계수)

미분계수는 배우는데 왜 도함수를 따로 배울까요?

두 식은 저번에 포스팅한 글(https://pastryofjsmath.tistory.com/16)에 미분계수의 정의로 같다고 이미 알고 있습니다.

[움직이는 x와 고정된 상수 a의 기울기(평균변화율)의 극한값] (= 순간변화율)을 a도 이동시키고 싶어~하면 아래와 같이

이렇게 적으면 도함수가 되는거죠. 근데 우리는 왜 미분계수만 알면 되는거지 왜 도함수까지 배워야할까요?

사실 직접 어떤 함수를 주고 해보면 몸으로 느껴지실겁니다. 예로 들어보면,

y=x^2이라는 함수로 x=1과 2에서의 미분계수를 알고싶으면, 그냥 미분계수의 정의인 평균변화율의 극한에 넣으면 될것입니다. 하지만, 1과 2에서 엄밀하게 알고 싶다면 어떻게 해야할까요?

x=1.000000000000....1 , x= 1.000000000000....2 .. x= 1.000000000000....3 .. x= 1.999999999999...1 x= 1.999999999999...2... 이런식으로 모든 사잇값을 다 대입해야 할 것입니다. 수학에선 직관적인것이 중요하지만, 우리의 직관이 벗어나는 경우도 있습니다.

직관으로 그 근처를 파고들어 엄밀하게 증명하는.. 그렇기에 엄밀함을 강조하는 것이죠. 흔히 말하는 "노가다"작업은 힘든작업이기 때문에 우리는 도구(Tool)을 이용하는겁니다. 우리는 이러한 직관을 거시적인 관점이라 하고 엄밀함을 미시적이라고도 합니다. 이러한 도함수의 등장으로 우리는 위의 노가다를 하지 않아도 전체적인 함수식을 알 수 있는 것이죠.

 

정리하자면, 미분계수는 정의대로 도함수의 포인트(함숫값)일뿐이고, 도함수는 미분계수들의 포인트들이 모여있는 것이라고 보시면 됩니다.