LA6) 선형결합정리와 기저 개수의 유일성,표현의 유일성,벡터공간의 합과 직합

이 글을 읽기전에

선형결합,일차독립,일차종속,기저에 관해서 헷갈린다면?

https://pastryofjsmath.tistory.com/73

LA5)선형결합,종속,독립

 

생성과 독립에 대한 정리

차원수 = 벡터집합 벡터수일때 기저 성립조건은 하나만 충족해도된다!

위에서 벡터집합 S가 일차독립이 아니라는 말은 즉 종속이라는 형태인데 벡터를 늘려서 독립을 만들 수는 없다.

어떠한 선형결합으로 이루어진 벡터연결성을 줄여야 하므로 이는 줄여나가는 방향으로만 생각해야 하므로 제외시키는 방향으로 증명하면 된다. 

기저가 아니여도 결국엔 기저를 만들 수 있다!

 

+2025/03/21 추가

 

선형대수 교재나 어떤 수업교재든 위 증명을 할 때는 m>n일 때 A ∈ M_{nx m} 을 이용해서 u1,u2..,um이 선형종속임을 밝히고 n<m일 때는 B ∈ M_{mx n} (B: {uj}를 기저로 해서 선형결합 표현을 한 {vi} 의 계수)을 이용해서 v1,v2,..,vn이 선형종속임을 밝힙니다. 

 

아니 그럼 단박에 m<n일 때 A를 이용해서 안되는가??????? 라는 의구심을 들어야합니다. 

이 경우 굳이 따지자면 집에서 직장까지 가는데 20분이면 가는 거리를 돌아서 1시간 걸리는 거리로 가는거와 동일하죠.

이왕 구한 A를 m<n일 때도 끝까지 써먹자! 라고 하고싶지만,

애초에 수학하는 사람들은 상당히 귀찮음이 많은 사람들인데 이렇게 케이스를 나눈 이유가 애초에 A로 단박에 판단이 안되기에 나눈거겠지만요.. 다음은 안되는 이유??라기보다는 의미있는 팩트가 나오지 않는 이유입니다. 

당최 무슨소리인지 모르겠으면 다음 설명을 보세요.

 

만약, m<n일 때 행렬 A를 이용해서 판단한다고 하면,

rank(A)=rank(A|0)<=min(m,n)=m = 미지수의 수(m) 
즉, 행렬 A가 풀랭크 상태일 때는 같아지게 됩니다. 이러면 {u1,u2,..,um}이 일차독립이 되는거 아닌가? 라고 생각이 될 수 있지만,

방정식의 수(=행의 개수) =차원의 수(왜냐하면, vector length = 차원의 수라고 벡터공간챕터에서 정의했습니다.)

이를 기반으로 예시를 들면 3차원 공간에서 2개의 벡터가 선형독립이라는 사실인데, 이 사실은 위 증명과 무관한 그냥 팩트 그 자체 입니다. 

 

 

제가 제일 싫어하는게 이렇게 외워야하는 부분인데요.

외우기 싫어서 보름동안 그렇게 되어야만 하는 당위성을 생각해보았지만 찾질 못했네요..ㅠㅠ 

 

증명 key라고도 볼 수 있는데, 위 기저 개수 동일성 증명은 ①크기가 작은 사이즈를 기저로 두고

②그 기저를 크기가 큰 벡터의 선형결합 형태로 만드는 것이라고 보는게 제일 좋은 것 같습니다. 

③ 크기가 큰 큰 벡터들을 다시 그들만의 선형결합으로 나타내서

행렬표현을 한다면 해공간이 {max(m,n) x 1}의 크기를 갖게 될 것이고 이를 기반으로 m<n, m>n이든 골라서 증명하는게 제일 속편하지 않을까 합니다..