자유도가 n-1인 카이제곱분포 증명 중 y_i와 y_1들의 독립성판단

증명의 주요논점은

좌변은 카이제곱분포(n)을 따름을 이미 알고 우변의 2번째 항은 표준정규분포를 따르는 확률변수를 제곱했으므로 이는 카이제곱분포(1)을 이미 우리는 안다.

그러니까 우리의 궁극적인 목표는 우변의 첫번째 항의 MGF만 안다면 분포를 알 수 있을 것인데, 

지수에 올라간 형태이기에 우변의 항이 서로 독립이기만 하다면 나눠서 MGF를 구할 수 있을 것이다. 

그래서 표본분산과 표본평균(나머지는 상수)의 독립성 판단하는 것부터가 증명의 시작인데 

아래와 같은 곳에서 곧바로 당위성이 부여가 안되었기에 다른분들에게도 공유합니다.

 

위의 g2(y2) = ~ 줄에서 맨 우변식에서 f(y_1)이 빠졌습니다.

이중적분 f(y_1)*h(y_2,y_3) dy_1 , dy_3 = 적분h(y_2,y_3)dy_3입니다.

 

중요한 점은 확률을 두 함수의 곱으로 일반적으로 표현 할 때 항상 주변확률밀도함수로 표현이 가능한가?라는 논점이다.