LA-2) 방정식 해의 존재 유무 판단(Augment matrix, rank)

이번 포스팅은 고등학생분들에게도 강력추천합니다.

수학문제를 풀다보면 연립방정식을 만나게 됩니다.

그 연립방정식을 모두 x,y,z.. 해를 구해야 존재함을 알 수 있을까요?

특히 고등학생분들은 기하문제에서 곡선의 특성을 이용해서 해를 구하시는 방법도 쓰시지만 그 특성이 보이지 않는다면 좌표계설정으로 해를 구하시는 분들도 계실겁니다. 또한 평면방정식을 연립해서 교선을 구한다는 등 평면식이 많으면 많을수록 계산량이 확 늘어나는데요. 해가 존재하는지 해가 유일한지 판단하는 방법을 손풀이와 R을 이용한 풀이를 이번 글에 포스팅하겠습니다.

 

선행지식으로는 행렬과 기본행연산이 뭔지만 아시면 됩니다.

Augment Matrix

Rank

여기서 선형독립이라는 것은 쉽게 말해 A라는 녀석을 B로 실수배해서 표현이 가능하면 선형독립이 아니라고 생각하시면 편합니다.

 

REF를 만들려면 Leading Entry를 모두 1행처럼 1로 만들어야 합니다. 하지만 시각적으로 바로 2행은 3행의 음수배, 3행*3 =4행임을 알 수 있기에 더 이상 진행하지 않았습니다.

 

이러한 연산을 기본행연산이라고 하는데, 손으로 하기에는 행렬이 클 수록 매우 번거롭습니다. 8x8행렬을 풀어본다하면.. 끔찍하죠.그렇기에 소프트웨어 R을 이용해 풀어보면,

#install.package(matlib)
#library(matlib)
A <- matrix(c(1,4,2,
              3,1,-5,
              -2,3,7,
              -7,5,19),byrow = T,ncol=3)

gaussianElimination(A=A)

> gaussianElimination(A=A)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0   -2
[2,]    0    1    1
[3,]    0    0    0
[4,]    0    0    0

깔끔하게 leading entry :1인 행이 2개 ; rank(A)=2임을 바로 알 수 있습니다.

해의 존재 판단

유일한 해

무수히 많은 해

해가 없음

다음 연립식으로 해의 존재유무를 판단해도 될까요?

잘못된 예제

왜 여기선 적용이 안될까요?

이 방식은 선형식이라는 조건이 있기 때문입니다. x^2은 선형이 아닙니다. 만약 x^2대신 x기준으로 다른 실수배나 +,-연산으로 같아질 수 있다면? 그렇다면 연립식을 더 추가하셔야 합니다.

ex) 7x, x+7 같이.. 된다면 x^2=7x, x^2 =x+7 이런 식을 저기 위의 연립식에 추가시키면 됩니다.

아무튼 곡선형에서는 사용이 불가능하다는 것이므로 고등학생분들께서는 평면식 x,y,z을 구하실 때나 직선식을 구하실 때 사용하시면 편합니다.

연립식을 다 풀지 않아도 교선 존재 유무 교점 존재 유무를 바로 판단 가능합니다.

 

더나아가 행렬식에도 똑같이 적용이 가능합니다.

행렬식 존재 판단